1. 对数是什么
2. 什么是对数?
记住口诀
ln X=Y 就是e的Y次方等于X
lg X=Y 就是10的Y次方等于X
loga X=Y 就是a的Y次方等于X
你说10的对数怎么算,假设以10为底数吧,即a=10,X=10
你想,10的多少次方等于10呢,显然答案是1
再举个例子,lne^2 ,e的多少次方等于e^2?显然是2
3. 什么是对数
你好!
【参考资料:百科】
对数的概念:
如果b^nx,则记n=log(b)(x)。其中,b叫做“底数”,x叫做“真数”,n叫做“以b为底的x的对数”。
log(b)(x)函数中x的定义域是x>0,零和负数没有对数;b的定义域是b>0且b≠1
对数的性质及推导
用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
*表示乘号,/表示除号
定义式:
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质:
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推导
1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.与2类似处理
MN=M/N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.与2类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数,所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性质:
性质一:换底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推导如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
综合两式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因为N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性质二:(不知道什么名字)
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下
由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------(性质及推导 完 )
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
还可变形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1
【希望可以帮到你】
4. 对数是什么
一.概念:如果a^n=b,那么log(a)(b)=n。其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0,零和负数没有对数;a的定义域是a>0且a≠1。 二.基本性质:a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=log(a)(M)/n
三.推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与(3)类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与(3)类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下: 由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导: 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
5. 什么是对数
如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。
推导公式
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)
求导数
(xlogax)'=logax+1/lna
其中,logax中的a为底数,x为真数;
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)'=(lnx)'=1/x
6. 什么是对数
英语名词:logarithms 如果a^n=b,那么log(a)(b)=n。其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0,零和负数没有对数;a的定义域是a>0且a≠1。
对数的性质及推导
定义:
若a=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)
基本性质:
1、a=b 2、log(a)(a)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M)=nlog(a)(M) 6、log(a)M=log(a)(M)/n (注:下文^均为上标符号,例:a^1即为a)
推导
1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与(3)类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与(3)类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数,所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下: 由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导: 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------(性质及推导 完)
7. 数对是什么意思呢?
数对是一个表示位置的概念,相当于坐标,前一个数字表示列,后一个数字表示行,比如(2,5)表示它的位置是第二列的第五行。可以很容易的判断出某一处的位置。
数对相当于坐标,可以很容易的判断出某一处的位置。其实我们生活中处处都是数对。
作用:
有了数对,我们就能很容易的表示出某一点的位置。数对不仅能表示二维空间(长,宽)还可以表示三维空间(长,宽,高)或四维时空(长,宽,高,时间),世界上的所有点都可以用数对表示,数对将给我们的生活带来极大的方便。
数对发明之后,我们表示就方便多了,例如上面的※符号可以用数对表示在(5,2)处,要注意的是,要按坐标上的数来确定,如果坐标上的数改动了,表示就不一样了。
8. 什么是对数?
对数的概念:
如果a^b=n(a>0,a≠1),那么数b叫做以a为底n的对数,记作logan=b,其中a叫做底数,n叫做真数。负数和零没有对数。
(a^b就是a的b次方)