函数的奇偶性和单调性？
2024-05-15
1. 函数的奇偶性和单调性？
奇偶性就是看函数的图像是关于y轴对称（偶函数），即f(x)=f(-x)；还是关于原点对称（奇函数）, 即-f(x)=f(-x)。 单调性是指函数图像在某个区间是随x的增加递增还是递减。 不知道解释得够不够清晰，可以追问
2. 函数的单调性与奇偶性
最简单的方法使用导数来区别
步骤：
奇偶性：
1.先看定义域是否关于原点对称
2.如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性
3.若定义域关于原点对称
4.则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数
5.f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数
单调性：
1.先在区间上取两个值,一般都是X1、X2 设X1＞X2（或者X1＜X2）
2.把X1、X2代进去f(x)解析式做差 也就是f(X1)-f(X2)
3.关化简,化成乘或除的形式
4.若满足 f(X1)-f(X2)＞0则是增函数
3. 函数的单调性和奇偶性怎样区别
最简单的方法使用导数来区别
步骤：
奇偶性：
1.先看定义域是否关于原点对称
2.如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性
3.若定义域关于原点对称
4.则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数
5.f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数
单调性：
1.先在区间上取两个值,一般都是X1、X2 设X1＞X2（或者X1＜X2）
2.把X1、X2代进去f(x)解析式做差 也就是f(X1)-f(X2)
3.关化简,化成乘或除的形式
4.若满足 f(X1)-f(X2)＞0则是增函数
4. 函数的奇偶性和单调性
函数类别 奇偶性 单调性 特殊点 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 正比例函数（y=kx） 奇函数 k＞0，单调增 过原点（0,0） k＜0，单调减 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 一次函数（y=kx+b） b=0时，奇函数 k＞0，单调增 与y轴交点（0，b） b≠0时，非奇非偶 k＜0，单调减 与x轴交点（-b/k，0） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 二次函数（y=ax²+bx+c） b=0，偶函数 在R上无单调增 与x轴的交点（与△有关） b≠0，非奇非偶 或单调减 与y轴的交点（0，c） ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 反比例函数（y=k/x） 奇函数 k＞0，同个象限内单调增 无（x，y均不等于0） k＜0，同个象限内单调减
5. 函数的单调性与奇偶性?
⒈ 增函数与减函数 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间 上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),则说f(x) 在这个区间上是增函数（如图3）； ⑵若当x1(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）. 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2（图1），当x∈[0,+ )时是增函数，当x∈(- ,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)(fx2) ”改为“f(x1) (fx2) 或f(x1) (fx2)”即可； ⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函 数，图象下降则为减函数. 偶函数与奇函数 定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个值x， ⑴若f(-x)=f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做偶函数； ⑵若f(-x)=-f(x)恒成立，则函数y=f(x)就叫做奇函数. 例如，函数f(x)=x2+1，f(x)=|x|，f(x)=x4-4等都是偶函数；函数f(x)=x，f(x)=1/x等都是奇函数. 若函数f(x)是奇函数或偶函数，则说函数f(x)具有奇偶性. 说明：⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，-x也应在定义域之中，否则f(-x)无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
6. 函数的单调性和奇偶性的概念
奇偶性 1．定义 一般地,对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. （2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. （3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数. （4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数. 说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇（或偶）函数. （分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图象的特征： 定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形. f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增. 偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减. 单调性： 一般地,设函数f(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. 注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念； （3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤： a.设x1、x2∈给定区间,且x1
7. 函数的单调性与奇偶性
x>0增函数则x<0也是增函数 若x(x-1/2)<0 0<x<1/2 则f(-1)=-f(1)=0 所以f[x(x-1/2)]<f(-1) 增函数 x(x-1/2)<-1 x²-x/2+1/16<-1+1/16 (x-1/4)²<-15/16 无解 若x(x-1/2)>0 x1/2 所以f[x(x-1/2)]<f(1) 增函数 x(x-1/2)<1 x²-x/2-1<0 x²-x/2-1=0的根是(1±√17)/4 (1-√17)/4<x<(1-√17)/4 且x1/2 所以(1-√17)/4<x<0，1/2<x<(1+√17)/4
8. 有关函数的单调性与奇偶性
+1或-1 由奇函数定义，f(-x)=-f(x)解方程得来 注意a=-1时函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）在这个定义域上函数为奇函数，因此a=-1是满足条件的，不要漏解
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