期权定价问题

1. 期权定价问题

(25-20)-2+1=4
23-20-2+1=2
2-1=1（股票下跌不执行期权，损失等于期权买入价格和卖出价格的差额）
股票价格为21
执行合约21-20=1
刚好等于你买入期权卖出期权的差额
所以盈亏平衡

2. 期权定价问题？

(25-20)-2+1=4
23-20-2+1=2
2-1=1（股票下跌不执行期权，损失等于期权买入价格和卖出价格的差额）
股票价格为21
执行合约21-20=1
刚好等于你买入期权卖出期权的差额
所以盈亏平衡

3. 期权的定价方法

这是一个老题目了，在知乎里也有一些类似的问题，但总感觉所有回答都有所欠缺，所以希望在这里对所有的数值方法进行一个梳理。按照我个人的分类，期权定价的数值方法分为五个大类：解析解方法，树方法，偏微分方程数值解方法，蒙特卡洛方法，傅立叶变换方法。
1）解析解方法：
一个期权定价问题，其实就是根据已知的随机微分方程（SDE）模型，然后来求解关于这个随机过程函数表达式的过程。这也是为什么随机微积分和Ito lemma会是金融工程的核心知识之一，因为Ito直接告诉了我们一个随机过程的函数所满足的新SDE：

\rm{d}f(t, X_{t})=\frac{\partial f}{\partial t}\rm{d}t + \frac{\partial f}{\partial X_t}\rm{d}X_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2}\rm{d}[X, X]_t
然后，如果我们可以求出这个SDE的解析解，那么一个欧式无路径依赖期权的价格就是它在终值时刻折现的期望值。这就是一种期权定价的解析解方法，当然你也可以利用PDE来求解，由于Feynman Kac定理的存在，PDE和条件期望的答案会是一致的。
而这类方法的优点是显而易见的，一旦解析解存在，那么期权的价格公式计算速度就会非常之快，不论做拟合还是优化都会有效率上质的提升，而这类方法的缺点也很明显，那就是，对于大部分模型和大部分奇异期权，解析解未必存在。
2）树方法
之所以叫树方法而不叫二叉树，是因为我们也将讨论三叉树模型，但其实本质思想是一模一样的。
如果告知你了一个标的资产的波动率，那么你可以通过下述式子构造一个N段的二叉树的上下波动：

u = \rm{e}^{\sigma\sqrt{T/N}}, d = \rm{e}^{-\sigma\sqrt{T/N}}
然后利用逆推，来得到初始时刻的期权价格。
那么三叉树呢？首先要明白一个道理，除了满足了下列条件的三叉树模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)
其余的三叉树都是incomplete market。在其余的树模型下，我们只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而这独有的一种三叉树模型，也成为了最常用的树模型之一。或许有人好奇为什么有二叉树了，还有人使用更麻烦的三叉树。这是因为三叉树的收敛速度要高于二叉树。
那么树模型的优缺点又是什么呢？树模型有一个任何连续时间模型都无法取代的优点，那就是每一个定价，在树模型里，不论美式、欧式、路径依赖、奇异，通过Backward Induction Principle得到价格，永远都是伴随着显式对冲策略的。而在连续时间模型里，想获得连续时间对冲策略的这类问题，是一个倒向随机微分方程（BSDE）问题，有很多时候并不是那么好解决的，尤其是当期权有奇异或美式属性的时候。
另一方面，树模型缺点也显而易见，高维度问题树模型是不能解决的，所以对于多个标的资产的问题，尤其是具有相关系数的资产，我们只能诉之于他法。而从速度上来讲，树模型的收敛速度是要低于PDE方法的。
3）PDE方法
很多对于quantitative finance陌生的人也会听说过Black Scholes PDE。而实际上，不同的随机模型，都会对应不同的PDE。BS PDE只不过是单资产符合几何布朗运动随机模型的PDE表达罢了。因为对于期权，我们往往知晓它最终到期日的payoff，所以我们用payoff函数来作为这个PDE的终值条件。
如果PDE存在解析解，最优办法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我们就必须诉诸数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分，也就是将所有变量构造一个网格，然后利用网格上的差分方法来估计偏导数，进而将PDE问题转化为代数问题。而对于期权定价的PDE，我们会根据期权的性质，获得这个PDE终值条件和边值条件。然而，有时候根据不同的模型，我们可能得到的并不是一个简单的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了积分项，这时候，我们需要同时再借助数值积分来完成数值计算。
PDE的数值问题自然还有很多的选择，有限元、谱方法都在列。但期权定价PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非线性程度，边界也并没有那么奇怪，所以基本上有限差分是可以解决绝大部分问题的。
有限差分法分三种：显式差分，隐式差分，交错差分。我们不深入研究算法，但几个点就是：稳定性上，显式差分是条件稳定的，另外两种都是无条件稳定；计算复杂度上，显示最简单，隐式次之，交错最繁琐；精确性上，显式、隐式是同阶的，交错差分的特殊情形，显式和隐式各占一半时，也就是Crank-Nicolson差分，精度会在时间上也上升一阶。
另外，在期权定价中PDE有两大类，正向和倒向。传统的BS PDE就是倒向的一个典型例子，它的终值条件就是期权的payoff function。而一个倒向PDE所对应的正向PDE，它不再是期权价格满足的PDE，而是这个标的的“价格密度”所满足的PDE。这个“价格密度”被称为State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而这个在我之前的一篇文章有介绍过
Arrow Debreu price与快速拟合
而PDE方法的缺点主要有两点：路径依赖问题，高维度问题。很多路径依赖问题的PDE形式是很麻烦，甚至无法表达的，比如亚氏期权，比如回望期权。而对于高维度问题，如果PDE的数值方法会从平面网格上升到空间网格，在复杂度上不但繁琐，而且在边值条件上更难以控制。而PDE的优点则是速度快，而且根据差分的数值方法，在计算Greeks的时候不需要加以再次的bumping计算。举个例子，如果不降维，一个具有两个assets的期权的有限差分就是这样的一个立方网格：

4）蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是目前应用范围最广泛的方法了。因为不存在提前行权属性的期权价格其实就是一个期望，所以我们就可以通过模拟很多的路径，来用平均数估计真实期望。而美式或百慕大这种具有提前行权属性的期权，它的期权价格其实是一个随机优化问题。这类问题我们可以采用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression来估计conditional NPV，然后再用蒙特卡洛求解当前价值。
所以说，蒙特卡洛方法是最为general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺点也是显而易见：因为要模拟上百万条路径，而且对于奇异期权还要做路径上的计算，美式更要做回归，蒙特卡洛方法成为了计算时间长的代名词。但幸运的是，我们有三种提速的方法：1，利用方差缩减，在保证方差恒定的基础上，可以减少模拟路径；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，减少complexity；3，利用GPU或超级计算机，进行并行计算。
对于普通蒙特卡洛方法，上述三种方法都是可行的，而且GPU的提速是非常显著的。对于方差缩减，得强调一点的就是，一般而言，最简单的方式是对偶变量，其次是控制变量，然后是利用条件期望，最难的是importance sampling，而在效果和适用范围上，它们的排序往往是刚好相反的。比如美式期权的最小二乘蒙特卡洛，方差缩减的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。
这里另外再着重强调一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模拟标的路径；其次，倒向在每个时间节点，对所有路径值进行回归，估算条件期望，直到初始时间点；最后，求平均。所以值得注意的一点就是，在这里，如果单纯使用GPU cluster进行提速，效果并不是很理想，因为路径模拟并不是最消耗时间的步骤，对所有路径回归才是。虽然如此，但其实还是可以用GPU cluster来对回归精度加以提升，比如可以将路径进行归类，然后将global regressor转换成多个local regressor。
总的来说，蒙特卡洛方法是期权定价中适用范围最广的数值方法，但也是最慢的方法。然而，我们可以利用方差缩减、复杂度缩减，以及GPU计算来优化我们的蒙特卡洛算法，达到提速与增加精确性的目的。
5）傅立叶方法
傅立叶方法也被称为特征函数法，利用的就是对于很多的模型，它们的特征函数往往是显式表达的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process来决定的模型，因为在这样的情况下，我们有Levy-Khintchine representation，很多拟合性质很好的过程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都属于这一类。而特征函数实际上可以看作是一个随机变量的傅立叶变换，这也就是这个名字的由来。
如果我们有显式表达的特征函数，我们可以通过傅立叶逆变换来得到原随机变量的密度，进而达到求解期权价格的目的。一般来讲，这样的方法要比PDE方法更加快速，因为数值积分的速度要比微分方程数值解的速度要快。然而，这类方法的缺陷也是显而易见的，路径依赖性和维度问题，以及我们必须要有显式表达的特征函数。
总结：
在这里，我们只讲一些面上的东西。具体深入的东西，我会在公众号：衍生财经上详谈。

4. 关于期权价格的问题

实际上其理论价值就直接就是用当前股价减去行权价计算出来的实值或虚值来作衡量就行了，按这个情况来说该权证理论价值是0.7元，但实际交易情况很多时候是达不到这个价值的，相关的解释如下：
建议对于这种时间较短的期权别用Black--Scholes定价公式，虽然是缺乏了相关历史波动率、无风险利率等的相关数据，但实际上就算有相关的数据来进行计算也不会有太大的效果，最主要原因是期权的存续期时间极短，只有七天就到期，故此就算对于历史波动率和无风险利率套用在Black--Scholes定价公式计算所得的数值与利用粗略计算的实值(当期权处于虚值状态除外)一般差异不大，这是Black--Scholes定价公式中考虑到的时间价值问题由于期权存续时间较短会被大大压缩。
另外一般这一类公司发行这种七天就到期的短期股票认购权证实际上是一种配股形式发行的权证，主要是对原股东配股，限定在七天时间内原股东是否行权，不行权的原股东也可以通过交易转让权证套现减少相关损失，原因是这类权证是以配股形式发行的，在期权上市交易后，标的股票价格会有自然除权现象，且计算出来的期权理论价值很多时候是会高于期权的市价，也就是俗称的折价交易，最主要是存在一部分股东不愿意接受配股或配股后有零股不方便交易而选择抛售权证所导致的，以港股的市场为例就有这类的情况发生，最主要是港股对于不满一手的股票是要到零股市场上交易的，在零股市场上交易的价格往往要比正常整手交易的单一股价要有一定的价格折让。
最后建议要对于这类期权进行估值最好是要看相关市场实际交易规则情况，有时候并不是单纯对于相关公式的理解就能说明权证价值的，还要结合实际情况进行考虑。

5. 看跌期权的买方在协定价格大于现货市场上的价格时卖出就一定盈利吗？（比如协定价格为9期权费为1,且此

当然不是，盈利与否得看买入时的价格。例如，买入看跌期权的时候现货市场的价格是7，当时 的期权费可能是2.7，也就是说当时这个看跌期权比现在（股价8.5，期权费1）更值钱。其实盈亏和买股票是一个道理，低价买入，高价卖出。只是期权多了一个需要考虑的时间价值。

6. 期权合约中的特定价格

期权价格(权利金)，指期权合约的市场价格，是由内在价值和时间价值组成。期权权利方(买方)将权利金支付给期权义务方(卖方)，以此获得期权合约所赋予的权利。

内在价值：是由期权合约的行权价格与期权标的市场价格的关系决定的，表示期权买方可以按照比现有市场价格更优的条件买入或者卖出标的证券的收益部分。
内在价值只能为正数或者为零。只有实值期权才具有内在价值，平值期权和虚值期权都不具有内在价值。实值认购期权的内在价值等于当前标的股票价格减去期权行权价，实值认沽期权的行权价等于期权行权价减去标的股票价格。
时间价值：是指随着时间的延长，相关合约标的价格的变动有可能使期权增值时期权的买方愿意为买进这一期权所付出的金额，它是期权权利金中超出内在价值的部分。
期权的有效期越长，对于期权的买方来说，其获利的可能性就越大;而对于期权的卖方来说，其须承担的风险也就越多，卖出期权所要求的权利金就越多，而买方也愿意支付更多权利金以拥有更多盈利机会。所以一般来讲，期权剩余的有效时间越长，其时间价值就越大

7. 谁能综述一下期权定价理论啊？详细一些，特别在B-S定价理论以后又出现过哪些定价理论，高分悬赏，好的追加

Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点, 但是它的推导过程难以为人们所接受。

        在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型, 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。
　　
        二项期权定价模型由约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯（Stephen A. Ross）、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）和威廉·夏普(William F. Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。

　　二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

        对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格，应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

构建二项式期权定价模型
　　1973年，布莱克和休尔斯(Black and Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产价格，服从正态分布的期权进行定价。

        随后，罗斯开始研究标的资产价格，服从非正态分布的期权定价理论。1976年，约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)在《金融经济学杂志》上发表论文 “基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。

　　1979年，约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）在《金融经济学杂志》上发表论文 “期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。

　　二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型 （B-S定价理论），是两种相互补充的方法。

        二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段，细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。

　　随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数，就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。

        二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算，并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。

　　

8. 求期权价格

约等于4.571

用二叉树算法，用股票和无风险债券建立一个模拟投资组合，来模拟期权的收益。根据无套利原则，两个投资组合的收益曲线完全相同时，价格也必相同。

具体做法：设：债券价格为1。A为购买股票数，B为购买债券数。
t＝0时，投资组合价格为60A＋B。
一年以后，股价变为75时，投资组合价格为75A＋B，期权价格为0。令二者相等，可得75A＋B＝0。
一年以后，股价变为50时，投资组合价格为50A＋B，期权价格为10。令二者相等，可得50A＋B＝10。

联立方程，解出A＝－0.4，B＝28.571，带入t＝0时的式子，可以得到投资组合在t＝0时的价格，也就是期权的价格。